Compas de proportion

Compas de proportion: cet instrument de Mathématiques, que les Anglais appellent secteur, est d'un grand usage pour trouver des proportions entre des quantités de même espèce, comme entre lignes & lignes, surfaces & surfaces, &c. c'est pourquoi l'on appelle en France, compas de proportion.

Le grand avantage du compas de proportion sur les échelles communes, consiste en ce qu'il est fait de telle sorte, qu'il convient à tous les rayons & à toutes les échelles. Par les lignes des cordes, des sinus, &c. qui sont sur le compas de proportion, on a les lignes des cordes, des sinus, &c. d'un rayon quelconque, comprises entre la longueur & la largeur du secteur ou compas de proportion, quand il est ouvert. Voyez Echelle & Ligne.

Le compas de proportion est fondé sur la quatrième proposition du sixième livre d'Euclide, où il est démontré que les triangles semblables ont leurs côtés homologues proportionnels. Voici comment on peut en prendre une idée. Supposons que les lignes A B, A C (fig. 26. Géom.) soient les jambes du compas, & que A D, A E représentent deux sections égales qui passent par le centre, ou qui partent du centre; si alors on joint les points C B, & D E, les lignes C B, D E seront parallèles: c'est pourquoi les triangles A D E, A C B sont semblables, & par conséquent les côtés A D, D E, A B, & B C sont proportionnels; c'est - à - dire que A D. D E :: A B. B C: donc si A D est la moitié, le tiers, ou le quart de A B, D E sera aussi la moitié, le tiers, ou le quart de B C. Il en est de même de tout le reste. C'est pourquoi si A D est corde, sinus, ou tangente d'un nombre quelconque de degrés pour le rayon A B, D E sera la même chose pour le rayon B C. Voyez Corde, Sinus, &c.

Description du compas de proportion. Cet instrument consiste en deux règles ou jambes égales, de cuivre ou d'autre matière, rivées l'une à l'autre, en sorte néanmoins qu'elles peuvent tourner librement sur leur charnière. Voyez sa figure, Pl. Géom. fig. 15. Sur les faces de cet instrument sont tracées plusieurs lignes, dont les principales sont la ligne des parties égales, la ligne des cordes, la ligne des sinus, la ligne des tangentes, la ligne des sécantes, & la ligne des polygones. [p. 752]

La ligne des parties égales, que l'on appelle aussi ligne des lignes, marquée L, est une ligne divisée en 100 parties égales; & quand la longueur de la jambe le permet, chaque partie est subdivisée en moitiés & quarts. Cette ligne se trouve sur chaque jambe du compas, & du même côté, avec les divisions marquées 1, 2, 3, 4, &c. jusqu'à 10, qui est vers l'extrémité de chaque jambe. Remarquez que dans la pratique, 1 est pris pour 10, ou 100, ou 1000, ou 10000, &c. suivant le besoin; en ce cas, 2 représente 20, ou 200, ou 2000, &c. & ainsi du reste. La ligne des cordes marquée C sur chaque jambe, est divisée suivant la manière ordinaire, & numérotée 10, 20, 30, &c. jusqu'à 60. Voyez Corde, La ligne des sinus marquée sur chaque jambe par la lettre S, est une ligne des sinus naturels, numérotée 10, 20, 30, &c. jusqu'à 90. Voyez Sinus.

La ligne des tangentes, marquée sur chaque jambe par la lettre T, est une ligne des tangentes naturelles numérotée 10, 20, 30, &c. jusqu'à 45. Outre cela, il y a une autre petite ligne des tangentes sur chaque jambe, qui commence à 48° & s'étend jusqu'à 75°; elle est marquée par la lettre t. Voyez Tangente. La ligne des sécantes marquée sur chaque jambe par la lettre S, est une ligne des sécantes naturelles numérotée 10, 20, 30, &c. jusqu'à 75; cette ligne ne part pas du centre de l'instrument; son commencement en est distant de deux pouces. Voyez Sécante. La ligne des polygones marquée par la lettre P sur chaque jambe, est numérotée 4, 5, 6, &c. jusqu'à 12; elle commence à trois pouces du centre de l'instrument. Voyez Polygone.

Outre ces lignes, qui sont essentielles au compas de proportion, il y en a d'autres proche de ses bords extérieurs sur l'une & l'autre face, & parallèles à ces bords; elles servent aussi à des usages particuliers, dont nous parlerons.

Les lignes que l'on trouve par le moyen du compas de proportion sont de deux espèces; elles sont latérales ou parallèles. Les premières sont celles que l'on trouve sur la longueur des côtés de cet instrument, comme A B, A C, (fig. 62.) & les dernières, celles qui traversent d'une jambe à l'autre, comme D E, C B. Remarquez que l'ordre ou l'arrangement des lignes sur les compas de proportion les plus modernes, est différent de celui qui est observé sur les anciens; car la même ligne n'est pas mise aujourd'hui à la même distance du bord de chaque côté; mais la ligne des cordes, par exemple, est la plus intérieure d'un côté, & la ligne des tangentes sur l'autre. L'avantage en est que quand l'instrument est mis à un rayon pour les cordes, il sert aussi pour les sinus & les tangentes, sans que l'on soit obligé d'en changer l'ouverture; car la parallèle entre les nombres 60 & 60 des cordes, celle qui est entre les nombres 90 & 90 des sinus, & celle qui est entre les nombres 45 & 45 des tangentes, sont toutes égales. Chambers.

La description que l'on vient de donner de cet instrument, est conforme à la construction Anglaise. Les compas de proportion qui composent ce que l'on appelle en France un étui de mathématiques, consistent aussi en deux règles assemblées, comme ci - dessus, dont chacune a pour l'ordinaire 6 pouces de long, 6 à 7 lignes de large, & environ 2 lignes d'épaisseur. On en fait de plus petits, pour avoir la commodité de les porter dans la poche, & de plus grands pour travailler sur le terrain, dont on proportionne la largeur & l'épaisseur. On a coûtume d'y tracer 6 sortes de lignes; savoir, la ligne des parties égales, celle des plans & celle des polygones d'un côté, la ligne des cordes, celle des solides & celle des métaux de l'autre côté des jambes de cet instrument.

On met encore ordinairement sur le bord d'un côté une ligne divisée, qui sert à connaître le cali<cb-> bre des canons, & de l'autre côté une ligne qui sert à connaître le diamètre & le poids des boulets de fer, depuis un quart jusqu'à 64 livres.

Usage de la ligne des parties égales du compas de proportion. Pour diviser une ligne donnée en un nombre quelconque des parties égales, par exemple, en sept; prenez la ligne donnée avec votre compas; mettez une de ses pointes sur une division de la ligne des parties égales, en sorte que cette longueur puisse être exactement divisée par 7; mettez - la, par exemple, sur 70, dont la septième partie est 10; ouvrez la section ou plutôt le compas de proportion, jusqu'à ce que l'autre pointe tombe exactement sur le nombre 70 de la même ligne des parties égales tracée sur l'autre jambe: dans cette disposition, si l'on met une pointe du compas au nombre 10 de la même ligne, & qu'on lui donne une ouverture telle que son autre pointe tombe au nombre 10 de la même ligne tracée sur l'autre jambe, cette ouverture sera la septième partie de la ligne donnée. Remarquez que si la ligne à diviser est trop longue pour être appliquée aux jambes du compas de proportion, on en divisera seulement une moitié ou une quatrième partie par 7, & le double ou le quadruple de cette ligne sera la septième partie de la ligne totale.

2°. Pour mesurer les lignes du périmètre d'un polygone, dont un des côtés contient un nombre donné de parties égales; prenez la ligne donnée avec votre compas, & mettez - la sur la ligne des parties égales, au nombre de parties sur chaque côté qui exprime sa longueur; le compas de proportion restant dans cet état, mettez la longueur de chacune des autres lignes parallèlement à la première, & les nombres où chacune d'elles tombera exprimeront la longueu de ces lignes.

3°. Une ligne droite étant donnée & le nombre des parties qu'elle contient, par exemple 120, pour en retrancher une plus petite qui contienne un nombre quelconque des mêmes parties égales, par exemple 25, prenez la ligne donnée avec le compas ordinaire; ouvrez le compas de proportion jusqu'à ce que les deux pointes tombent sur 120 de chaque côté; alors la distance de 25 à 25 donnera la ligne demandée.

4°. Pour trouver une troisième proportionnelle à deux lignes données ou une quatrième à trois, dans le premier cas prenez avec votre compas la longueur de la première ligne donnée, & mettez - la sur la ligne des parties égales depuis le centre jusqu'au nombre où elle se termine; alors ouvrez le compas de proportion, jusqu'à ce que la longueur de la seconde ligne soit renfermée dans l'ouverture comprise entre les extrémités de la première. Le compas de proportion restant ainsi ouvert, mettez la longueur de la seconde ligne sur l'une des jambes de l'instrument, en commençant au centre, & remarquez où elle se termine; la distance qui est comprise entre ce nombre & le même qui lui répond sur l'autre jambe, donne la troisieme proportionnelle: dans le second cas, prenez la seconde ligne avec votre compas, & ouvrant le compas de proportion, appliquez cette étendue aux extrémités de la première, que l'on a portée sur les deux jambes de l'instrument depuis le centre. Le compas de proportion restant ainsi ouvert, portez la troisième ligne comme ci - dessus depuis le centre, alors l'étendue, qui est entre le nombre où elle se termine sur les deux jambes, est la quatrième proportionnelle.

5°. Pour diviser une ligne en une raison donnée quelconque, par exemple en deux parties qui soient l'une à l'autre comme 40 est à 70, ajoutez ensemble les deux nombres donnés, leur somme est 110; alors prenez avec votre compas la ligne proposée que l'on suppose 165, & ouvrez l'instrument jusqu'à ce que [p. 753] cette distance s'étende de 110 à 110 sur les deux jambes; le secteur demeurant ainsi ouvert, prenez la distance de 40 à 40, comme aussi celle de 70 à 70; la première donnera 60, & la dernière 105, qui seront les parties que l'on proposoit de trouver; car 40. 70 :: 60. 105.

6°. Pour ouvrir le compas de proportion de sorte que les deux lignes des parties égales fassent un angle droit, trouvez trois nombres comme 3, 4, & 5, ou leur équimultiples 60, 80, 100, qui puissent exprimer les côtés d'un triangle rectangle; prenez alors avec votre compas la distance du centre à 100, & ouvrez l'instrument jusqu'à ce qu'une des pointes de votre compas étant mise sur 80, l'autre pointe tombe sur le point 60 de l'autre jambe, alors les deux lignes des parties égales renferment un angle droit.

7°. Pour trouver une ligne droite égale à la circonférence d'un cercle; comme le diamètre d'un cercle est à sa circonférence à - peu - près comme 50 est à 157, prenez le diamètre avec votre compas, & mettez ce diamètre sur les jambes de l'instrument de 50 à 50; en le laissant ainsi ouvert, prenez avec le compas la distance de 157 à 157, elle sera la circonférence demandée.

Usage de la ligne des cordes du compas de proportion. 1°. Pour ouvrir cet instrument ensorte que les deux lignes des cordes fassent un angle d'un nombre quelconque de degrés, par exemple 40; prenez sur la ligne des cordes la distance depuis la charnière jusqu'à 40, nombre des degrés proposés; ouvrez l'instrument jusqu'à ce que la distance de 60 à 60 sur chaque jambe soit égale à la distance susdite de 40; alors la ligne des cordes fait l'angle requis.

2°. L'instrument étant ouvert, pour trouver les degrés de son ouverture, prenez l'étendue de 60 à 60; mettez - la sur la ligne des cordes en commençant au centre, le nombre où elle se terminera fera voir les degrés de son ouverture. En mettant des visières ou des pinnules sur la ligne des cordes, le compas de proportion peut servir à prendre des angles sur le terrain, de même que l'équerre d'arpenteur, le demi - cercle ou le graphomètre.

3°. Pour faire un angle d'un nombre donné de degrés quelconque sur une ligne donnée, décrivez sur la ligne donnée un arc de cercle, dont le centre est le point où doit être le sommet de l'angle: mettez le rayon de 60 à 60, & l'instrument restant dans cette situation, prenez sur chaque jambe la distance des deux nombres qui expriment les degrés proposés, & portez la de la ligne donnée sur l'arc qui a été décrit; enfin tirant une ligne du centre par l'extrémité de l'arc, cette ligne fera l'angle proposé.

4°. Pour trouver les degrés que contient un angle donné, autour du sommet décrivez un arc, & ouvrez le compas de proportion jusqu'à ce que la distance de 60 à 60 sur chaque jambe soit égale au rayon du cercle; prenant alors avec le compas ordinaire la corde de l'arc & la portant sur les jambes de cet instrument, voyez à quel même nombre de degrés sur chaque jambe tombent les pointes du compas; ce nombre est la quantité de degrés que contient l'angle donné.

5°. Pour retrancher un arc d'une grandeur quelconque de la circonférence d'un cercle, ouvrez l'instrument jusqu'à ce que la distance de 60 à 60 soit égale au rayon du cercle donné: prenez alors l'étendue de la corde du nombre de degrés donné sur chaque jambe de l'instrument, & mettez - la sur la circonférence du cercle donné. Par ce moyen on peut inscrire dans un cercle donné un polygone régulier quelconque, aussi - bien que par la ligne des polygones.

Usage de la ligne des polygones du compas de proportion. 1°. Pour inscrire un polygone regulier dans un cercle donné, prenez avec le compas ordinaire le rayon du cercle donné, & ajustez - le au nombre 6 de la ligne des polygones sur chaque jambe de l'instrument; en le laissant ainsi ouvert, prenez la distance des deux mêmes nombres qui expriment le nombre des côtés que doit avoir le polygone; par exemple, la distance de 5 à 5 pour un pentagone, de 7 à 7 pour un heptagone, &c. ces distances portées autour de la circonférence du cercle la diviseront en un pareil nombre de parties égales.

2°. Pour décrire un polygone régulier, par exemple un pentagone, sur une ligne droite donnée, avec le compas ordinaire, prenez la longue de la ligne, appliquez - la à l'étendue des nombres 5, 5 sur les lignes des polygones; l'instrument demeurant ainsi ouvert, prenez sur les mêmes lignes l'étendue de 6 à 6, cette distance sera le rayon du cercle dans lequel le polygone proposé doit être inscrit; alors si des extrémités de la ligne donnée l'on décrit avec ce rayon deux arcs de cercle, leur intersection sera le centre du cercle cherché.

3°. Pour décrire sur une ligne droite un triangle isocèle, dont les angles sur la base soient doubles chacun de l'angle au sommet; ouvrez l'instrument jusqu'à ce que les extrémités de la ligne donnée tombent sur les points 10 & 10 de chaque jambe, prenez alors la distance de 6 à 6, elle sera la longueur de chacun des deux côtés égaux du triangle cherché.

Usage de la ligne des plans du compas de proportion. On voudrait construire un triangle A B C semblable au triangle donné a b c, & triple en surface (Pl. d'Arpentage, fig. 13.) il n'y a qu'à prendre avec un compas commun la longueur du côté a b, la porter sur la ligne des plans à l'ouverture du premier plan: le compas de proportion restant ainsi ouvert, on prendra avec le compas commun l'ouverture du troisième plan, & l'on aura la longueur du côté homologue au côté a b: on trouvera de la même manière les côtés homologues aux deux autres côtés du triangle proposé, & de ces trois côtés l'on en formera le triangle A B C, qui sera semblable au triangle donné a b c & triple en surface.

Si le plan proposé a plus de trois côtés, on le réduira en triangles par une ou plusieurs diagonales: si c'est un cercle qu'il s'agisse de diminuer ou d'augmenter, on fera sur son diamètre l'opération que nous venons de décrire.

Etant données deux figures planes semblables, (fig. 14.) trouver quel rapport elles ont entre elles.

Prenez lequel vous voudrez des côtés de l'une de ces figures, & le portez à l'ouverture de quelque plan; prenez ensuite le côté homologue de l'autre figure, & voyez à l'ouverture de quel plan il convient; les deux nombres auxquels conviennent les deux côtés homologues, expriment la raison que les plans proposés ont entre eux: si le côté a b, par exemple, de la plus petite convient au quatrième plan, & que le côté homologue A B de l'autre convienne au sixième plan, les deux plans proposés seront entre eux comme 4 est à 6, ou comme 2 est à 3. Mais si le côté d'une figure ayant été mis à l'ouverture d'un plan, le côté homologue ne peut s'ajuster à l'ouverture d'aucun nombre entier, il faudra mettre ledit côté de la première figure à l'ouverture de quelque autre plan, jusqu'à ce qu'on trouve un nombre entier, dont l'ouverture convienne à la longueur du côté homologue de l'autre figure, afin d'éviter les fractions.

Si les figures proposées sont si grandes qu'aucun de leurs côtés ne se puisse appliquer à l'ouverture des jambes du compas de proportion, prenez les moitiés, les tiers ou les quarts, &c. de chacun des deux côtés homologues desdites figures, & les comparant ensemble vous aurez la proportion des plans. [p. 754]

Entre deux lignes droites données trouver une moyenne proportionnelle. Portez chacune des deux lignes données sur la ligne des parties égales du compas de proportion, afin de savoir le nombre que chacune en contient; & supposé, par exemple que la moindre ligne soit de 20 parties égales, & la plus grande de 45, portez cette plus grande à l'ouverture du quarante - cinquième plan, qui dénote le nombre de ses parties: le compas de proportion restant ainsi ouvert, prenez l'ouverture du vingtième plan, qui marque le nombre des parties égales de la plus petite ligne; cette ouverture, qui doit contenir trente des mêmes parties, donnera la moyenne proportionnelle; car 20 sont à 30 comme 30 sont à 45.

Mais comme le plus grand nombre de la ligne des plans est 64, si quelqu'une des lignes proposées contenait un plus grand nombre de parties égales, on pourrait faire ladite opération sur leurs moitiés, tiers ou quarts, &c. en cette sorte: supposant, par exemple, que la moindre des lignes proposées soit de 32 & l'autre de 72; portez la moitié de la grande ligne à l'ouverture du trente - sixième plan, & prenez l'ouverture du seizième; cette ouverture étant doublée donnera la moyenne proportionnelle que l'on cherche.

Usage de la ligne des solides du compas de proportion. Augmenter ou diminuer des solides semblables quelconques selon une raison donnée.

Soit proposé, par exemple, un cube duquel on en demande un qui soit double en solidité: portez le côté du cube donné sur la ligne des solides à l'ouverture de tel nombre que vous voudrez, comme, par exemple, de 20 à 20; prenez ensuite l'ouverture d'un nombre double, comme est en cet exemple le nombre 40; cette ouverture est le côté d'un cube double du proposé.

Si l'on propose un globe ou sphère, & qu'on veuille en faire une autre qui soit trois fois plus grosse, portez le diamètre de la sphère proposée à l'ouverture de tel nombre qui vous plaira, comme par exemple de 20 à 20, & prenez l'ouverture de 60, ce sera le diamètre d'une autre sphère triple en solidité.

Si les lignes sont trop grandes pour être appliquées à l'ouverture du compas de proportion, prenez en la moitié, le tiers ou le quart, ce qui en proviendra après l'opération sera moitié, tiers ou quart des dimensions que l'on demande.

Etant donnés deux corps semblables, trouver quel rapport ils ont entre eux. Prenez lequel vous voudrez des côtés de l'un des corps proposés, & l'ayant porté à l'ouverture de quelque solide, prenez le côté homologue de l'autre corps, & voyez à quel nombre des solides il convient; les nombres auxquels ces deux côtés homologues conviennent, indiquent le rapport des deux corps semblables proposés.

Si le premier ayant été mis à l'ouverture de quelque solide, le côté homologue du second ne peut s'accommoder à l'ouverture d'aucun nombre, portez le côté du premier corps à l'ouverture de quelqu'autre solide, jusqu'à ce que le côté homologue du second corps s'accommode à l'ouverture de quelque nombre des solides.

Usag de la ligne des métaux. Etant donné le diamètre d'un globe ou boulet de quelqu'un des six métaux, trouver le diamètre d'un autre globe de même poids, & duquel on voudra desdits métaux.

Prenez le diamètre donné & le portez à l'ouverture des deux points marqués du caractère qui dénote le métal du boulet, & le compas de proportion demeurant ainsi ouvert, prenez l'ouverture des points cotés du caractère qui signifie le métal dont on veut faire le boulet; cette ouverture sera son diamètre.

Si au lieu de globes on propose des corps semblables ayant plusieurs faces, faites la même opération que ci - dessus pour trouver chacun des côtés homologues, les uns après les autres, afin d'avoir les longueurs, largeurs, & épaisseurs des corps qu'on veut construire.

Usage des lignes des sinus, des tangentes, des sécantes, lorsqu'il y en a de tracées sur le compas de proportion. Par plusieurs lignes qui sont placées sur cet instrument, nous avons des échelles pour différent rayons; en sorte qu'ayant une longueur ou un rayon donné, qui n'excède pas la plus grande étendue de l'ouverture de l'instrument, on en trouve les cordes, les sinus, &c. Par exemple, supposons que l'on demande la corde, le sinus, ou la tangente de dix degrés pour un rayon de trois pouces; donnez trois pouces à l'ouverture de l'instrument entre 60 & 60 sur les lignes des cordes des deux jambes, alors la même longueur s'étendra de 45 à 45 sur la ligne des tangentes, & de 90 à 90 sur la ligne des sinus de l'autre côté de l'instrument; en sorte que la ligne des cordes étant mise à un rayon quelconque, toutes les autres le trouvent mises au même rayon C'est pourquoi si dans cette disposition on prend avec le compas ordinaire l'ouverture entre 10 & 10 sur les lignes des cordes, cela donnera la corde de dix degrés; en prenant de la même manière l'ouverture de 10 en 10 sur les lignes des sinus, on aura le sinus de dix degrés; enfin si l'on prend encore de la même manière l'ouverture de 10 en 10 sur les lignes des tangentes, cette distance donnera la tangente de dix degrés.

Si l'on veut la corde ou la tangente de 70 degrés, pour la corde on peut prendre l'ouverture de la moitié de cet arc, c'est - à - dire 35; cette distance prise deux fois donne la corde de 70d. Pour trouver la tangente de 70d pour le même rayon, on doit faire usage de la petite ligne des tangentes, l'autre s'étendant seulement jusqu'à 45d: c'est pourquoi donnant trois pouces à l'ouverture entre 45 & 45 sur cette petite ligne, la distance entre 70 & 70 degrés sur la même ligne, sera la tangente de 70 degrés pour un rayon de trois pouces.

Pour trouver la sécante d'un arc, faites que le rayon donné soit l'ouverture de l'instrument entre 0 & 0 sur la ligne des sécantes; alors l'ouverture de 10 en 10, ou de 70 en 70 sur lesdites lignes, donnera la tangente de 10 ou de 70 degrés.

Si l'on demande la converse de que qu'un des cas précédent, c'est - à - dire si l'on demande le rayon dont une ligne donnée est le sinus, la tangente ou la sécante, il n'y a qu'à faire que la ligne donnée, si c'est une corde, soit l'ouverture de la ligne des cordes entre 10 & 10, alors l'instrument sera ouvert au rayon requis; c'est - à - dire que le rayon demandé est l'ouverture entre 60 & 60 sur ladite ligne. Si la ligne donnée est un sinus, une tangente, ou une sécante, il n'y a qu'à faire qu'elle soit l'ouverture du nombre donné de degrés; alors la distance de 90 à 90 sur les sinus, de 45 à 45 sur les tangentes, de 0 à 0 sur les sécantes, donnera le rayon.

Usage du compas de proportion en Trigonométrie. 1°. La base & la perpendiculaire d'un triangle rectangle étant donnée, trouver l'hypoténuse. Supposons la base A C (Pl. Trigonom. fig. 2.) = 40 milles, & la perpendiculaire A B = 30; ouvrez l'instrument jusqu'à ce que les deux lignes des lignes, c'est - à - dire les deux lignes des parties égales, fassent un angle droit; puis pour la base prenez 40 parties de la ligne des parties égales sur une jambe, & pour la perpendiculaire 30 parties de la même ligne sur l'autre jambe; alors la distance du nombre 40 sur l'une des jambes, au nombre 30 sur l'autre jambe, étant prise avec le compas ordinaire, sera la longueur de [p. 755] l'hypoténuse, cette ligne se trouvera = 50 milles.

2°. Etant donnée la perpendiculaire A B d'un triangle rectangle A B C = 30, & l'angle B C A = 37d; pour trouver l'hypoténuse B C, prenez le côté A B donné, & mettez - le de chaque côté sur le sinus de l'angle donné A C B; alors la distance parallèle du rayon, ou la distance de 90 à 90, sera l'hypoténuse B C, laquelle mesurera 50 sur la ligne des sinus.

3°. L'hypoténuse & la base étant données, trouver la perpendiculaire. Ouvrez l'instrument jusqu'à ce que les deux lignes des lignes soient à angles droits; alors mettez la base donnée sur l'une de ces lignes depuis le centre; prenez l'hypoténuse avec votre compas, & mettant l'une de ses pointes à l'extrémité de la base donnée, faites que l'autre pointe tombe sur la ligne des lignes de l'autre jambe; la distance depuis le centre jusqu'au point où le compas tombe, sera la longueur de la perpendiculaire.

4°. L'hypoténuse étant donnée, & l'angle A C B, trouver la perpendiculaire. Faites que l'hypoténuse donnée soit un rayon parallèle, c'est - à - dire étendez - la de 90 à 90 sur les lignes des lignes; alors le sinus parallèle de l'angle A C B, sera la longueur du côté A B.

5°. La base & la perpendiculaire A B étant données, trouver l'angle B C A. Mettez la base A C sur les deux côtés de l'instrument depuis le centre, & remarquez son étendue; alors prenez la perpendiculaire donnée, ouvrez l'instrument à l'étendue de cette perpendiculaire placée aux extrémités de la base; le rayon parallèle sera la tangente de l'angle B C A.

6°. En tout triangle rectiligne, deux côtés étant donnés avec l'angle compris entre ces côtés, trouver le troisième côté. Supposez le côté A C = 20, le côté B C = 30, & l'angle compris A C B = 110 degrés; ouvrez l'instrument jusqu'à ce que les deux lignes des lignes fassent un angle égal à l'angle donné, c'est - à - dire un angle de 110 degrés; mettez les côtés donnés du triangle depuis le centre de l'instrument sur chaque ligne des lignes; l'étendue entre leurs extrémités est la longueur du côté A B cherché.

7°. Les angles C A B & A C B étant donnés avec le côté C B, trouver la base A B. Prenez le côté C B donné, & regardez - le comme le sinus parallèle de son angle opposé C A B; & le sinus parallèle de l'angle A C B sera la longueur de la base A B.

8°. Les trois angles d'un triangle étant donnés, trouver la proportion de ses côtés. Prenez les sinus latéraux de ces différents angles, & mesurez - les sur la ligne des lignes; les nombres qui y répondront donneront la proportion des côtés.

9°. Les trois côtés étant donnés, trouver l'angle A C B. Mettez les côtés A C, C B, le long de la ligne des lignes depuis le centre, & placez le côté A B à leurs extrémités; l'ouverture de ces lignes fait que l'instrument est ouvert de la grandeur de l'angle A C B.

10°. L'hypoténuse A C (fig. 3.) d'un triangle rectangle sphérique A B C donné, par exemple, de 43d, & l'angle C A B de 20d, trouver le côté C B, La règle est de faire cette proportion: comme le rayon est au sinus de l'hypoténuse donnée = 43d, ainsi le sinus de l'angle donné = 20d, est au sinus de la perpendiculaire C B. Prenez alors 20d avec votre compas sur la ligne des sinus depuis le centre, & mettez cette étendue de 90 à 90 sur les deux jambes de l'instrument; le sinus parallèle de 43d qui est l'hypoténuse donnée, étant mesuré depuis le centre sur la ligne des sinus, donnera 13d 30'pour le côté cherché.

11°. La perpendiculaire B C & l'hypoténuse A C étant données, pour trouver la base A B faites cette proportion: comme le sinus du complément de la perpendiculaire B C est au rayon, ainsi le sinus du complément de l'hypoténuse est au sinus du complément de la base. C'est pourquoi faites que le rayon soit un sinus parallèle de la perpendiculaire donnée, par exemple, de 76d 30'; alors le sinus parallèle du complément de l'hypoténuse, par exemple, de 47d, étant mesuré sur la ligne des sinus, sera trouvé de 49d 25', qui est le complément de la base cherchée; & par conséquent la base elle - même sera de 40d 35'.

Usages particuliers du compas de proportion métrie, &c. 1°. Pour faire un polygone régulier dont l'aire doit être d'une grandeur donnée quelconque, supposons que la figure cherchée soit un pentagone dont l'aire = 125 pieds; tirez la racine quarrée de 1/5 de 125 que l'on trouvera = 5: faites un quarré dont le côté ait 5 pieds, & par la ligne des polygones, ainsi qu'on l'a déjà prescrit, faites le triangle isocèle C G D (Pl. Géomét. fig. 14. n. 2.), tel que C G étant le demi - diamètre d'un cercle, C D puisse être le côté d'un pentagone régulier inscrit à ce cercle, & abaissez la perpendiculaire G E; alors continuant les lignes E G, E C, faites E F égal au côté du quarré que vous avez construit, & du point F tirez la ligne droite F H parallèle à G C; alors une moyenne proportionnelle entre G E & E F, sera égale à la moitié du côté du polygone cherché; en le doublant on aura donc le côté entier. Le côté du pentagone étant ainsi déterminé, on pourra décrire le pentagone lui - même, ainsi qu'on l'a prescrit ci - dessus.

2°. Un cercle étant donné, trouver un quarré qui lui soit égal. Divisez le diamètre en 14 parties égales, en vous servant de la ligne des lignes, comme on l'a dit; alors 12. 4 de ces parties trouvées par la même ligne seront le côté du quarré cherché.

3°. Un quarré étant donné, pour trouver le diamètre d'un cercle égal à ce quarre, divisez le côté du quarré en 11 parties égales par le moyen de la ligne des lignes, & continuez ce côté jusqu'à 12. 4 parties; ce sera le diamètre du cercle cherché.

4°. Pour trouver le côté d'un quarré égal à une ellipse dont les diamètres transverses & conjugués sont donnés, trouvez une moyenne proportionnelle entre le diamètre transverse & le diamètre conjugué, divisez - la en 14 parties égales; 12 4/10 de ces parties seront le côté du quarré cherché.

5°. Pour décrire une ellipse dont les diamètres ayant un rapport quelconque, & qui soit égale en surface à un quarré donné, supposons que le rapport requis du diamètre transverse au diamètre conjugué, soit égal au rapport de 2 à 1; divisez le côté du quarré donné en 11 parties égales; alors comme 2 est 1, ainsi 11 X 14 = 154 est à un quatrième nombre, dont le quarré est le diamètre conjugué cherché: puis comme 1 est à 2, ainsi le diamètre conjugué est au diamètre transverse. Présentement,

6°. Pour décrire une ellipse dont les diamètres transverse & conjugué sont donnés, supposons que A B & E D (Planche des coniq. fig. 21.) soient les diamètres donnés: prenez A C avec votre compas, donnez à l'instrument une ouverture égale à cette ligne, c'est - à - dire ouvrez l'instrument jusqu'à ce que la distance de 90 à 90 sur les lignes des sinus, soit égale à la ligne A C: alors la ligne A C peut être divisée en ligne des sinus, en prenant avec le compas les étendues parallèles du sinus de chaque degré sur les jambes de l'instrument, & les mettant depuis le centre C. La ligne ainsi divisée en sinus (dans la figure on peut se contenter de la diviser de dix en dix), de chacun de ces sinus élevez des perpendiculaires des deux côtés, alors trouvez de la manière suivante des points par lesquels l'ellipse doit passer; prenez [p. 756] entre les jambes de votre compas l'étendue du demi diamètre conjugué C E, & ouvrez l'instrument jusqu'à ce que son ouverture de 90 en 90 sur la ligne des sinus soit égale à cette étendue; prenez alors les sinus parallèles de chaque degré des lignes des sinus du compas de proportion, & mettez - les sur ces perpendiculaires tirées par leurs complément dans les lignes des sinus A C; par - là vous aurez deux points dans chaque perpendiculaire par lesquels l'ellipse doit passer. Par exemple, le compas de proportion restant toujours le même, prenez avec le compas ordinaire la distance de 80 à 80 sur les lignes des sinus, & mettant un pié de ce compas au point 10 sur la ligne A C, avec l'autre marquez les points a, m sur les perpendiculaires qui passent par ce point; alors a & m seront deux points dans la perpendiculaire, par lesquels l'ellipse doit passer. Si l'on joint tous les autres points trouvés de la même manière, ils donneront la demi - ellipse D A E. On construira l'autre moitié de la même manière.

Usage du compas de proportion dans l'arpentage. Etant donnée la position respective de trois lieux, comme A, B, C (Pl. d'Arpent. fig. 4. n. 2.), c'est - à - dire étant donnés les trois angles A B C, B C A, & C A B, & la distance de chacun de ces endroits à un quatrième point D pris entre eux, c'est - à - dire les distances B D, D C, A D, étant données, trouver les distances respectives des différent endroits A, B, C, c'est - à - dire déterminer les longueurs des côtés A B, B C, A C. Ayant fait le triangle E F G (fig, 4. n. 3.) semblable au triangle A B C, divisez le côté E G en H, de telle sorte que E H soit à H G, comme A D est à D C, ainsi qu'on l'a déjà prescrit; & de la même manière E F doit être divisé en I; tellement que E I soit à I F, comme A D est à D B. Alors continuant les côtés E G, E F, dites: comme E H - H G est à H G, ainsi E H + H G est à G K; & comme E I - I F est à I F, ainsi E I + I F est à F M: ces proportions se trouvent aisément par la ligne des parties égales sur le compas de proportion. Cela fait, coupez H K & I M aux points L, N, & de ces points, comme centres, avec les distances L H & I N, décrivez deux cercles qui s'entrecoupent au point O, auquel du sommet des angles E F G, tirez les lignes droites E O, F O, & O G, qui auront entre elles la même proportion que les lignes A D, B D, D C. Présentement si les lignes E O, F O, & G O, sont égales aux lignes données A D, B D, D C, les distances E F, F G, & E G, seront les distances des lieux que l'on demande. Mais si E O, O F, O G, sont plus petites que A D, D B, D C, prolongez - les jusqu'à ce que P O, O R, & O Q, leur soient égales: alors si l'on joint les points P, Q, R, les distances P R, R Q, & P Q, seront les distances des lieux cherchés. Enfin si les lignes E O, O F, O G, sont plus grandes que A D, D B, D C, retranchez en des parties qui soient égales aux lignes A D, B D, D C, & joignez les points de section par trois lignes droites, les longueurs de ces trois lignes droites seront les distances des trois endroits cherchés. Remarquez que si E H est égal à H G, ou E I à I F, les centres L & N seront infiniment distants de H & de I; c'est - à - dire qu'aux points H & I il doit y avoir des perpendiculaires élevées sur les côtés E F, F G, au lieu de cercles, jusqu'à ce qu'elles s'entrecoupent: mais si E H est plus petit que H G, le centre L tombera sur l'autre côté de la base prolongée; & l'on doit entendre la même chose de E I & I F.

Le compas de proportion sert particulièrement à faciliter la projection, tant orthographique que stéréographique. Voyez Projection & Stéréographie. (E)