Obédience : NC Site : http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume Date : NC


3014-4-1
Zéro

Pourquoi dans ce

monde, même les zéros,
pour valoir quelque
chose,
doivent-ils être à droite ?

0

Zéro,

c'est un nombre rond

 Voir Humour


 CARTE D'IDENTITÉ

 

0

 

Repères

Mnémotechnique

AS

Morse    - - - - -

 

Écriture

 

Braille

 

- Classique

0

. ·

 

- Éviter confusion avec la lettre O

Le rond barré est une lettre scandinave

Æ

· ·

 

- Maths: ensemble vide

Æ

. .

 

- Tableur, selon spécifications

0, - , rien

0

 

- Notation en O non fermé, parfois utilisée pour éviter la confusion avec la lettre O

 

 

 

Arithmétique

Facteurs

0

Nombre entier

Ni premier, ni composé

Pair

Explications  >>>

 

 

 

 

 

 

0

Numération

§        §  0

Ø      Ø  Employé seul, zéro indique rien, vide

>>>

 

 

§        §  105 & 15

Ø       Ø  Le zéro marque la place vide dans notre manière de compter

>>>

 

 

§        §  24 => 240

Ø      Ø  Un 0 à droite, et le nombre est multiplié par 10

>>>

 

Nombre

§        §  …, -2, -1, 0, 1, 2 …

Ø       Ø  Charnière entre les nombres positifs et les nombres négatifs

>>>

 

Arithmétique

§        §  a  + 0 = a

§        §  a  x 0 = 0

§        §a  /  0    absolument interdit !

Ø       Ø  Attention aux opérations avec 0

>>>

 

Algèbre

§        §  ax² + bx + c = 0

Ø       Ø  Équations: l'habitude consiste à rendre nul le membre de droite

§        §  f(x) = 0

Ø         Ø Le zéro d'une fonction en x est la valeur de x pour laquelle la fonction s'annule

Ø       Ø  Le zéro d'un polynôme est sa racine

v      v  Racine et zéro sont synonymes

>>>

Ø       Ø  La fonction zéro est une fonction qui vaut toujours zéro

 

 

Trigonométrie

§        §  Sin (0°) = cos (90°) = 0

Ø       Ø  Valeurs trigonométriques

>>>

 -Ý-

 

0

Ensemble

§        §  x  + e = x

Ø       Ø  Élément neutre e d'un groupe dont la loi est additive

v      v  Généralisation de l'effet du 0 de l'addition classique à d'autres ensembles

>>>

 

§        §  Card(Æ) = 0

Ø       Ø  Zéro est le cardinal de l'ensemble vide

v      v  La quantité d'objets dans un ensemble vide est 0

>>>

 

§        §  Ensemble des nombres rationnels Q

Ø      Ø  Ensemble de tous les nombres réels  p/q
où p et q sont des entiers relatifs avec q non nul
La définition exclut n / 0 et 0 / 0

 

 

Probabilité

§        §  P(x) = 0

Ø       Ø  Événement impossible, qui ne peut jamais se produire

>>>

 

Logique

§        §  0, 1

Ø       Ø  L'une des deux valeurs binaires de la logique

>>>

 

Géométrie

 

Ø       Ø  La dimension du point est 0; celle d'une droite est 1

§        §  {0, x, y, z}

Ø       Ø  Origine des mesures sur les systèmes d'axes

>>>

 

Géographie

Ø       Ø  Origine des repères géographiques: longitude, latitude

Ø       Ø  Zéro hydrographique: niveau de la mer

 

 

 

§        §  Ground Zero

Ø       Ø  Lieu où se trouvaient les tours jumelles de NewYork, objet des attentats du 9 septembre 2001

>>>

 -Ý-

 

 

Physique

Ø       Ø  Énergie du vide

>>>

 

§        §  0°C

Ø       Ø  Point zéro: température de la glace fondante

>>>

 

§        §  0°K = - 273,16 °C

Ø       Ø  Zéro absolu

>>>

 

Calendrier

Ø       Ø  L'année 0 n'existe pas

>>>

 

Étymologie

Ø       Ø  Sunia, Sifr, Zephirum …

v      v  Le nombre 0 est une invention des Indiens, importée en Europe par les Arabes

>>>

 

Linguistique

Ø       Ø  La boule à zéro, tout reprendre à zéro …

>>>

 

Numérologie

Ø       Ø  Le zéro est l'origine primitive de toute chose

>>>

 -Ý-     Suite >>>

 Pour tous les détails voir les pages indiquées ci-dessous


Quelques réponses à des questions classiques sur le ZÉRO

 

Zéro est un nombre

§     §  Les nombres donnent la réponse à la question: "combien y a-t-il d'objets"?

Ø     Ø Il y en a 2, il y a 1, il n'y en a pas (0)

Ø     Ø Zéro doit donc être considéré comme un nombre

§     §  Que zéro soit un nombre ou non est sans grand fondement dans la mesure où on décrète qu'il en fait partie, un point c'est tout. Comme quelqu'un qui appartient à un club ou non!

Zéro entier

non naturel

Whole number

or counting number

/ natural number

§     §  Les entiers naturels n'incluent pas le zéro

Ø     Ø Car, naturellement, on commence à compter à partir de un: 1 mouton, 2 moutons; s'il n'y a pas de mouton, on n'écrit rien

Ø     Ø Historiquement, on faisait une encoche pour commencer à compter.

Ø     Ø Les Romains ne connaissaient pas le zéro …

§     §  Cette notion entiers / naturels n'a pas d'importance

Ø     Ø En maths, on utilise
l'ensemble N (avec le 0) ou
l'ensemble N
* (sans le 0)

Zéro ni positif

ni négatif

§     §  Zéro est au centre: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

Zéro est pair

§     §  Un nombre n est pair s'il existe un nombre k tel que n = 2k

Ø     Ø Avec k = 0, n = 2 x 0 = 0 => 0 est pair

§     §  Un nombre est pair s'il est divisible par 2; ce qui veut dire que le reste de la division est zéro

Ø     Ø 0 divisé par 2 donne un reste de 0 => 0 est pair

§     §  Selon la liste des nombres

Ø     Ø Nombres naturels                          1, 2, 3 …

Ø     Ø Nombres entiers                        0, 1, 2, 3 …

Ø     Ø Nombres relatifs:   … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

Même si l'on faisait ces distinctions entre entiers et naturels, dans tous les cas  0 est pair

§     §  La somme de deux nombres pairs et paire

Ø     Ø 0 + 2 = 2 => exact avec 0 => 0 est pair

Zéro

Ni premier

Ni composé

§     §  Un nombre premier est seulement divisible par 1 et par lui-même

Ø     Ø Or 0 est divisible par tout nombre (et donne 0), sauf par 0 (voir ci-dessous)

Ø     Ø Zéro n'est donc pas premier

§     §  Un nombre composé est le produit d'au moins deux facteurs premiers

Ø     Ø Or, pour donner un produit égal à 0, il faut que l'un des facteurs soit 0, lequel n'est pas premier

Ø     Ø Zéro n'est donc pas composé

Zéro est multiple

de tout nombre

§     §  Le nombre x est multiple de n, s'il existe un nombre k tel que: x = kn

Ø     Ø Dans notre cas x vaut 0

Ø     Ø prenons n = 8

Ø     Ø il existe bien un nombre k = 0 tel que 0 = 0 x 8

Ø     Ø ceci est valable pour tout autre nombre que 8

Zéro est un carré

ou une puissance

ou une racine

§     §  Si      3 x 3 = 9 et que 3 = Ö9 alors 9 est le carré de 3

§     §  Alors 0 x 0 = 0 donne 0 = Ö0 alors 0 est le carré de 0

 

Division par zéro


n / 0

indéfini

§     §  Combien de fois 2 dans 8: réponse 4

Ø     Ø car 2 x + 4 = 8

§     §  Combine de fois 0 dans 8: réponse ?

Ø     Ø car n x 0 = 0 toujours et jamais 8

Ø     Ø à moins de dire qu'il s'agit de l'infini: mais alors cela crée le bazar dans les lois de calcul.

Ø     Ø L'ensemble des réels R ne contient pas un individu tel que l'infini

Ø     Ø Les mathématiciens préfèrent dire que cette fraction est indéfinie

Preuve par l'absurde

§     §  Prenons les fractions successives 1 / (1/n)

Ø     Ø  Le dénominateur devient proche de 0 lorsque n devient très grand, et la fraction complète devient elle aussi très grande

Ø     Ø  Admettons que nous appelions infini la limite: 1 / 0 = ¥

§     §  Prenons maintenant 1 / (-1/n)

Ø     Ø  Lorsque n devient très grand la fraction donne un nombre négatif de plus en plus grand et la limite devient: 1 / 0 = - ¥

§     §  En déclarant que 1 / 0 est indéfini, ce genre de contradiction est évité

0 / 0

indéterminé

§     §  N'est pas indéfini, mais indéterminé

Ø     Ø Impossible de lui donner une valeur à priori

Ø     Ø Notion associée aux limites et qui dépend du contexte

5x / x x ® 0  = 5

Autres cas avec zéro >>>

0 0

indéterminé

§     §  Est indéterminé entre 0 et 1

§     §  Est indéterminé entre 0 et 1

Ø     Ø En effet, voici trois exemples:

- Avec 0 x = 0, alors 0 x  x ® 0  = 0

- Avec x 0 = 1, alors x 0  x ® 0  = 1

- Et pour 0 < x < 1, avec ( x n ) 1/n = x,
alors ( x n ) 1/n n ® ¥  = ( 0 ) 0  qui vaut aussi x

Ø     Ø On peut encore ajouter

-         -         lim   0 (1/n)  n ® ¥  = 0

-          -         lim (1/n) 0  n ® ¥  = 1

Ø     Ø Etc.

Autres cas avec zéro >>>

-Ý-

Voir

§         §  Sommaire des pages du Zéro

§         §  Infini

 

Livres

§         §  Zéro – Denis Guedj - 2005

§         §  Zéro – La biographie d'une idée dangereuse – Charles Seife – 2002
-
 Zero: the biography of a dangerous idea)


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